念知等面四面体-isohedral tetrahedron亦称等腰四面体，是一种特殊的四面体，它是每条棱与其对棱总相等的四面体，它的四个面是全等的锐角三角形，每个顶点处的面角之和皆为平角，它可以由锐角三角形沿着它的三条中位线折叠而得到，等面四面体的外接平行六面体是长方体，等面四面体的对棱中点连线是这对棱的公垂线段，且三条公垂线段互相垂直平分于外心。
等面四面体的体积与表面积计算
四个面相等的四面体称为等面四面体。三组对棱的长分别为a，b，c的等面四面体的体积计算公式为
式中，表面积计算公式为
式中，高=内切球半径r的4倍，外接球半径，四个面的面积-或周长皆相等的四面体是等面四面体。内切球与外接球同心的四面体必为等面四面体。
相关定理
定理1一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体的外接平行六面体是长方体。
证明 充分性
设四面体ABCD的外接平行六而体是长方体，那么，因为，所以。同理可得， ，所以四面体ABCD是等面四面体。
必要性
设平行六面体是四面体ABCD的外接平行六面体，因为，，，，，所以，，即平行四边形和平行四边形都是矩形，同理可得平行四边形和平行四边形都是矩形，平行四边形和平行四边形都是矩形，所以平行六面体是长方体。
定理2 一个四面体是等面四面体的充要条件是三双对棱中点的连线两两互相垂直。
证明 如图1，平行六面体是四面体ABCD的外接平行六面体，则棱AB与CD中点的连线与平行，AC与BD的中点连线与平行，AD与BC的连线与平行。
充分性
当四面体ABCD三双对棱中点的连线两两互相垂直时，、、两两互相垂直，平行六面体是长方体，由定理1知四面体ABCD是等面四面体。
必要性
如果四面体ABCD是等面四面体，那么、、两两互相垂直，所以四面体ABCD三双对棱中点的连线两两互相垂直。
定理3 一个四面体是等面四面体的充要条件是对棱中点的连线是这双对棱的公垂线。
证明 如图1，平行六面体是四面体ABCD的外接平行六面体，则棱AB与CD中点的连线与平行，AC与BD的中点连线与平行，AD与BC的连线与平行。
充分性
因为四面体ABCD对棱AB与CD中点的连线是AB与CD的公垂线，所以平面，于是.同理可得，所以平行六面体是长方体，由定理1知四面体ABCD是等面四面体。
必要性
因为四面体ABCD是等面四面体，所以平行六面体是长方体，所以AB与CD的中点连线与平面、都垂直，即AB与CD的中点连线与AB、CD都垂直，所以AB与CD的中点连线是AB、CD的公垂线，同理可得AC与BD的中点连线是AC、BD的公垂线，AD与BC的中点连线是AD、BC的公垂线。
定理4 一个四面体是等面四面体的充要条件是四面体四个面的周长都相等。
证明充分性
设四面体ABCD中，且
，
由两边相加化简，得
，
再由得
，
所以，同理得，所以四面体ABCD是等面四面体。
必要性
如果四面体ABCD是等面四面体，那么，所以，于是四面体ABCD的各面周长相等。
定理5 一个四面体是等面四面体的充要条件是四面体四个面的面积都相等。
证明 充分性
如图2，作四面体ABCD中△ABC和△BCD边BC的高AE和DF，点G是EF的中点，连AG、DG，过点D作，作，与l相交于点H，连AH，点M是AD的中点，点N是DH的中点，连GN、MN，因为，所以。因为G是EF的中点，所以，因此。因为点M是AD的中点，所以.点G是EF的中点，点M是AD的中点，点N是DH的中点，.因为，所以平面AEH，因此，由此得,所以平面GMN,因此,由此得GM是AD与BC的公垂线，并且经过AD的中点，同理可得AD与BC的公垂线经过BC的中点，即AD与BC的中点连线是AD、BC的公垂线，同理可得AB与CD的中点连线是AB、CD的公垂线，AC与BD的中点连线是AC、BD的公垂线，由定理3知四面体ABCD是等面四面体。
必要性
如果四面体ABCD是等面四面体，那么，所以，于是= = = 。
推论 一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体的高都相等。
定理6 一个四面体是等面四面体的充要条件是四面体内- 包括四面体各面所包含的三角形内的点以及棱上的点任一点到该四面体各面距离的和是定值。
定理7 一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体三双对棱为棱的二面角对应相等。
证明 充分性
设四面体ABCD中以AB、CD为棱的二面角相等，以AC、BD为棱的二面角相等，以AD、BC为棱的二面角相等，那么由三面角全等的判定定理知，所以，于是，同理可得, 所以四面体ABCD是等面四面体。
必要性
因为四面体ABCD是等面四面体，那么，由三面角全等的判定定理知四面体ABCD中以AB、CD为棱的二面角相等，同理可得四面体ABCD中以AC、BD为棱的二面角相等，以AD、BC为棱的二面角相等。
定理8 一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体每一顶点的三个面角的和都等于180°。
定理9 一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体的每一顶点与对面三角形重心的连线等长。
定理10 一个四面体是等面四面体的充要条件是从四面体任一顶点出发的三个面之间所成的三个二面角的余弦之和等于1。
定理11一个四面体是等面四面体的充要条件是四面体任一面与其他的面所成的三个二面角的余弦之和都等于1。
定理12 等面四面体各面是全等的锐角三角形。
证明 设四面体ABCD是等面四面体，所以，因此，根据三面角的基本性质，得，由定理8得，所以。同理可得，所以是锐角三角形。因为所以四面体ABCD各面是全等的锐角三角形。
定理13 等面四面体的重心、外心、内心重合。
推论 一个四面体是等面四面体的充要条件是该四面体的重心、外心、内心重合。
